Agrupamento de Escolas Pedro Eanes Lobato
Probabilidades · 9.º Ano
🎯 Bem-vindo às Probabilidades!
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Percurso Sugerido
🌍 A Probabilidade no Dia a Dia
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Desporto
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Sorteios e Rifas
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Medicina
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Dados
Ao lançar um dado equilibrado, qual a probabilidade de sair um número par?
Sorteios Escolares
Turma de 28 alunos — a professora sorteia 1 para ir ao quadro. A tua probabilidade:
💡 Porquê estudar Probabilidades?
Compreender probabilidades ajuda-nos a tomar melhores decisões, a interpretar notícias e estudos científicos e a ser cidadãos mais informados.
📘 Teoria das Probabilidades
Conceitos fundamentais para o 9.º ano.
📌 1. Experiência Aleatória e Espaço Amostral
Uma experiência aleatória é uma experiência cujo resultado não podemos prever com certeza, mesmo que seja repetida nas mesmas condições.
• Lançar um dado de 6 faces: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Lançar uma moeda: Ω = {cara, coroa}
• Retirar uma bola de um saco com 5 bolas: Ω = {b₁, b₂, b₃, b₄, b₅}
Dado de 6 faces
Lança-se um dado equilibrado de 6 faces. Define-se o acontecimento A = «sair um número par».
1. Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 casos possíveis
2. Acontecimento A: A = {2, 4, 6} → 3 casos favoráveis
3. Probabilidade: P(A) = 36 = 12
Complementar Ā = «sair um número ímpar»: Ā = {1, 3, 5}
P(Ā) = 1 − 12 = 12
📌 2. Tipos de Acontecimento
Um acontecimento é qualquer subconjunto do espaço amostral — um conjunto de resultados que nos interessam. Considera sempre o dado de 6 faces: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Exemplo:
A = «sair um número entre 1 e 6» → A = {1,2,3,4,5,6} = Ω → P(A) = 1
Exemplo:
B = «sair o número 7» → B = ∅ → P(B) = 0
Exemplo:
C = «sair o número 5» → C = {5} → P(C) = 16
Exemplo:
A = «sair par» = {2,4,6} → Ā = «sair ímpar» = {1,3,5} → P(Ā) = 1 − 12 = 12
Exemplo:
A = «sair par» = {2,4,6} e B = «sair ímpar» = {1,3,5} → A ∩ B = ∅
Exemplo:
A = «sair 1» e B = «sair 6» → P(A ∪ B) = 16 + 16 = 13
Exemplo:
A = «sair um número par» = {2,4,6} → Ā = «não sair um número par» = «sair um número ímpar» = {1,3,5}
P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 12 = 12
📌 3. Regra de Laplace
Quando todos os resultados do espaço amostral são igualmente prováveis, a probabilidade de um acontecimento A calcula-se pela Regra de Laplace:
Regra de Laplace
Dado de 6 faces
Lança-se um dado equilibrado de 6 faces. Calcula a probabilidade do acontecimento A = «sair um número maior do que 4».
1. Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 casos possíveis
2. Acontecimento A: A = {5, 6} → 2 casos favoráveis
3. Aplicação da Regra de Laplace: P(A) = 26 = 13
Complementar Ā = «sair um número ≤ 4»: Ā = {1, 2, 3, 4}
P(Ā) = 1 − 13 = 23
📌 4. Tabela de Dupla Entrada
A tabela de dupla entrada permite listar de forma sistemática todos os resultados possíveis quando é útil organizar pares de resultados ou cruzar duas dimensões da experiência. Cada célula pode representar um par ordenado ou uma combinação, conforme o contexto.
1 — Lançamento de 2 moedas
Lançam-se simultaneamente uma moeda azul e uma moeda vermelha, cada uma com duas faces: Cara (C) e Coroa (K).
Define-se o acontecimento A = «sair pelo menos uma Cara».
1. Espaço amostral — todos os pares (azul, vermelha):
| Azul ╲ Verm. | C | K |
|---|---|---|
| C | (C,C) ✓ | (C,K) ✓ |
| K | (K,C) ✓ | (K,K) |
2. Total de casos possíveis: 2 × 2 = 4 pares
3. Acontecimento A (pelo menos uma Cara): {(C,C), (C,K), (K,C)} → 3 casos favoráveis
4. Probabilidade: P(A) = 34
Complementar Ā = «nenhuma Cara» = «duas Coroas»: {(K,K)} → P(Ā) = 14 → Verificação: 34 + 14 = 1 ✓
2 — Escolha de 2 pessoas (pares sem ordem)
De um grupo de 4 pessoas — Ana (A), Bruno (B), Carlos (C) e Diana (D) — sorteiam-se 2 pessoas ao acaso, sem ter em conta a ordem.
Define-se o acontecimento B = «o par inclui a Ana».
1. Espaço amostral — todos os pares possíveis (sem repetição, sem ordem):
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| A | — | AB ✓ | AC ✓ | AD ✓ |
| B | — | — | BC | BD |
| C | — | — | — | CD |
| D | — | — | — | — |
2. Total de casos possíveis: contando apenas uma vez cada par diferente, obtêm-se 6 pares: AB, AC, AD, BC, BD e CD.
3. Acontecimento B (par inclui a Ana): {AB, AC, AD} → 3 casos favoráveis
4. Probabilidade: P(B) = 36 = 12 = 0,5 → 50%
📌 5. Diagrama em Árvore
O diagrama em árvore representa graficamente todos os resultados possíveis de uma experiência com duas ou mais etapas sequenciais. Cada ramo representa um resultado de uma etapa.
SEM reposição: após cada extração, o elemento NÃO é devolvido → o número de ramos diminui a cada etapa.
SEM reposição — saco {V, A, R}, 2 extrações
Um saco contém 3 bolas: 1 Vermelha (V), 1 Azul (A) e 1 Rosa (R). Retiram-se 2 bolas sem reposição (a 1.ª bola não é reposta antes de retirar a 2.ª).Define-se o acontecimento C = «as duas bolas extraídas são da mesma cor».
1. Total de casos possíveis: 3 × 2 = 6 pares ordenados (sem reposição → 2 ramos na 2.ª etapa, pois a bola retirada não volta)
2. Acontecimento C: ∅ → 0 casos favoráveis
3. Probabilidade: P(C) = 06 = 0
Nota: Sem reposição, não existem pares com bolas repetidas — VV, AA ou RR são acontecimentos impossíveis!
COM reposição — saco {V, A, R}, 2 extrações
Um saco contém 3 bolas: 1 Vermelha (V), 1 Azul (A) e 1 Rosa (R). Retiram-se 2 bolas com reposição (a 1.ª bola é reposta antes de retirar a 2.ª).
Define-se o acontecimento C = «as duas bolas extraídas são da mesma cor».
1. Total de casos possíveis: 3 × 3 = 9 pares ordenados (com reposição → 3 ramos na 2.ª etapa, pois a bola retirada volta ao saco)
2. Acontecimento C: {VV, AA, RR} → 3 casos favoráveis
3. Probabilidade: P(C) = 39 = 13
Nota: Com reposição, VV, AA e RR são acontecimentos possíveis, pois após cada extração a bola regressa ao saco.
📌 6. Diagrama de Venn — União e Interseção
O diagrama de Venn representa graficamente as relações entre dois ou mais acontecimentos. É especialmente útil quando os acontecimentos se podem sobrepor (não são disjuntos).
n(A) lê-se «número de elementos do conjunto A» — é a cardinalidade do conjunto, ou seja, a contagem de quantos elementos pertencem a A.
Exemplos:
n({2, 4, 6}) = 3 | n(∅) = 0 | n(Ω) = total do universo
Fórmulas fundamentais (n = número de elementos):
• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) [elementos em A, em B ou em ambos]
• n(Ω) = n(A ∪ B) + n(fora de A e B) [total = dentro + fora]
• n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) [elementos em A e B simultaneamente]
Preferências de visita de 120 alunos
Numa escola com 120 alunos, 50 querem visitar Lisboa (L), 80 querem visitar Peniche (P) e 10 não querem visitar nenhum dos dois locais.Define-se o acontecimento E = «querer visitar os dois locais» (Lisboa e Peniche).
1. Número de alunos em pelo menos um dos dois — n(L ∪ P):
n(L ∪ P) = n(Ω) − n(fora) = 120 − 10 = 110 alunos
2. Soma das duas listas — n(L) + n(P):
n(L) + n(P) = 50 + 80 = 130
(este valor conta os alunos que estão nas duas listas duas vezes)
3. Número de alunos que querem os dois — n(L ∩ P):
n(L ∩ P) = n(L) + n(P) − n(L ∪ P) = 130 − 110 = 20 alunos
(subtraímos o excesso: quem foi contado duas vezes)
4. Probabilidade: P(E) = 16
Verificação com o diagrama de Venn:
• Só Lisboa: 50 − 20 = 30 | Só Peniche: 80 − 20 = 60 | Ambos: 20 | Nenhum: 10
• Total: 30 + 60 + 20 + 10 = 120 ✓
📌 7. Probabilidade da União de Acontecimentos Disjuntos
Quando dois acontecimentos são disjuntos ou mutuamente exclusivos, não têm resultados em comum. Isto significa que A ∩ B = ∅.
Se A e B são acontecimentos disjuntos, então:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
A expressão A ∪ B lê-se «A reunião B» ou «A ou B». Representa os resultados que pertencem a A, a B, ou a ambos. No caso dos acontecimentos disjuntos, não há elementos em comum, por isso basta somar as probabilidades.
Bolas numeradas de 1 a 8
Num saco há 8 bolas iguais ao tato, numeradas de 1 a 8. Retira-se uma bola ao acaso.
Consideram-se os acontecimentos A = «sair par e primo» e B = «sair ímpar».
1. Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
2. Acontecimentos: A = {2}, porque 2 é o único número que é simultaneamente par e primo; B = {1, 3, 5, 7}
3. Verificação: A ∩ B = ∅, por isso A e B são acontecimentos disjuntos.
4. Probabilidades: P(A) = 18 = 0,125 → 12,5% e P(B) = 48 = 12 = 0,5 → 50%
5. União: A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7} → 5 casos favoráveis
6. Aplicação da regra:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 18 + 48 = 58 = 0,625 → 62,5%
Esta regra só pode ser usada diretamente quando os acontecimentos são disjuntos.
Por exemplo, no lançamento de um dado, se C = «sair número par» = {2, 4, 6} e D = «sair número maior do que 4» = {5, 6}, então C ∩ D = {6}. Como há um resultado comum, C e D não são disjuntos.
Neste caso, não se deve fazer apenas P(C) + P(D), porque o resultado 6 ficaria contado duas vezes.
📊 Simulador Interativo
Mexe nos sliders e observa como a probabilidade muda em tempo real.
🎲 🎲 Simulador 1 — Regra de Laplace
⚠️ Os casos favoráveis não podem exceder os casos possíveis!
Simulador 2 — Diagrama de Venn
Simulador 3 — Lançamento de um dado equilibrado
Escolhe o número de lançamentos e observa a frequência relativa de cada face. Com poucos lançamentos, os resultados podem ser muito irregulares; com muitos lançamentos, tendem a aproximar-se da probabilidade teórica 1/6.
| Face | Frequência absoluta | Frequência relativa | Desvio observado |
|---|
💡 A curto prazo há oscilação. A longo prazo, a frequência relativa tende a estabilizar perto de 1/6, mas não fica obrigatoriamente igual.
✏️ Prática Guiada
7 exercícios graduados com feedback passo a passo.
🏆 Exercícios de Provas Finais
10 questões reais das Provas Finais do 3.º Ciclo — treina para o exame!
✏️ Resultados — Prática Guiada
Revê o teu desempenho.
Parabéns!
📋 Revisão das questões
🏆 Resultados — Provas Finais
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📋 Revisão das questões
📈 O Meu Progresso
Acompanha a tua evolução e sobe de nível!